3次方程的求根公式
时间：2026-10-11 02:49:57来源：三次方程的一般形式为 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $，其求根公式较为复杂，但可通过卡尔达诺公式求解。以下是主要步骤和公式总结：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 将方程化为标准形式：$ x^3 + px + q = 0 $（通过除以 $ a $ 并移项） |
| 2 | 引入变量替换：$ x = u + v $ |
| 3 | 利用关系式 $ u^3 + v^3 = -q $ 和 $ 3uv = -p $ 解出 $ u^3 $、$ v^3 $ |
| 4 | 使用求根公式：$ u^3 = -frac{q}{2} + sqrt{left(frac{q}{2} ight)^2 + left(frac{p}{3} ight)^3} $，类似地求 $ v^3 $ |
| 5 | 最终解为：$ x = sqrt[3]{-frac{q}{2} + sqrt{left(frac{q}{2} ight)^2 + left(frac{p}{3} ight)^3}} + sqrt[3]{-frac{q}{2} - sqrt{left(frac{q}{2} ight)^2 + left(frac{p}{3} ight)^3}} $ |
该公式适用于所有三次方程，但在实际计算中需注意判别式的符号，以判断根的性质。
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